Question

如图1，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，且交AB的延长线于点B．（1）请

如图1，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，且交AB的延长线于点B．（1）请你探究：AC1AB1=C1DDB1是否成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，如图2，AD是△ABC的角平分线，请问ACAB＝CDDB还成立吗？给出你的结论并证明．

Answer 1

（1）等式成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴

AC1

AB1

=

C1D

DB1

；

（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴

AC

BE

=

CD

DB

，
而BE=AB，
∴

AC

AB

=

CD

DB

．