Question

已知二次函数Y=ax²+bx的图像的顶点坐标是（1，-1),过原点O的直线交此二次函数的图像于点A（3,3）

已知二次函数Y=ax²+bx的图像的顶点坐标是（1，-1),过原点O的直线交此二次函数的图像于点A（3,3）
（1）在线段OA上有一点P作PQ⊥X轴交二次函数y=ax²+bx的图像于点Q，设S与m的函数关系式， 求当 s最大时，p点的坐标。
（2）请在二次函数y=ax²+bx的图像上找到一点B，使B,O,A三点能构成以OA为直角边的直角三角形。

Answer 1

(1)y=ax^2+bx的图像的顶点坐标是（1，-1),过点A(3，3),
∴-1=a+b,3=9a+3b,
解得a=1,b=-2.
∴y=x^2-2x.①
设OA:y=x上点P(p,p)，0<p<3,则Q(p,p^2-2p),
|PQ|=p-(p^2-2p)=3p-p^2,
∴S△OAQ=(1/2)|PQ|(xA-xO)=(3/2)(3p-p^2)=(-3/2)(p-3/2)^2+27/8,
∴当p=3/2时S最大，此时，P(3/2，3/2).
(2)△OAB以OA为直角边，分两种情况：
1）OB⊥OA,OB:y=-x,代入①，x^2-2x=-x,x^2-x=0,x=1,或0,∴B(1，-1).
2)AB⊥OA,AB:y=-x+6,代入①，x^2-2x=-x+6,x^2-x-6=0,x=3或-2，∴B(-2，8).