Question

已知：二次函数y=ax2-（b-1）x-3a的图象经过点P（4，10），交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜x2）

已知：二次函数y=ax2-（b-1）x-3a的图象经过点P（4，10），交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜x2），交y轴负半轴于C点，且满足3OA=OB．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO＞∠ACO？若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

（1）∵P（4，10）在图象上，
∴16a-4（b-1）-3a=10①；
∵图象交y轴负半轴于C，
∴-3a＜0，
∴a＞0，x₁x₂=

?3a

a

=-3＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0，x₂=-3x₁
x₁+x₂=x₁+（-3x₁）=-2x₁=-

b

a

，x₁x₂=-3x₁²=-3，
∴x₁²=1，又x₁＜0，
∴x₁=-1，
∴x₂=3，
∴b-1=2a②，
联立①②解得：a=2，b=5，
∴y=2x²-4x-6；

（2）存在点M，使∠MCO＞∠ACO，A点关于y轴对称点A′（1，0），
设直线A′C为y=kx+b，由于直线A′C过（1，0），（0，-6），则有：

k+b＝0 b＝?6

，
解得

k＝6 b＝?6

．
∴y=6x-6，联立抛物线的解析式有：

y＝6x?6 y＝2x2?4x?6

，
解得

x＝0 y＝?6

，

x＝5 y＝24

即直线A′C与抛物线交点为（0，-6），（5，24），
当y=-6时，即2x²-4x-6=-6，
解得：x₁=0，x₂=2，
∵∠MCO是锐角，
∴符合题意的x的取值范围是-1＜x＜0或2＜x＜5．