Question

已知函数f(x)＝a?2x+a2?22x?1（x∈R，x≠0），其中a为常数，且a＜0．（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值

已知函数f(x)＝a?2x+a2?22x?1（x∈R，x≠0），其中a为常数，且a＜0．（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值；（2）当f（x）为奇函数时，设f（x）的反函数为f-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f-1（x+1）的图象关于y=x对称，求y=g（x）的解析式并求其值域；（3）对于（2）中的函数y=g（x），不等式g2（x）+2g（x）+t?g（x）＞-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则f(?x)＝

a?2?x+a2?2

2?x?1

＝

(a2?2)2x+a

1?2x

＝?

a?2x+a2?2

2x?1

（2分）
∴a²-2=a，解此方程可得：a=2或a=-1（3分）
又∵a＜0，∴a=-1（4分）
（2）由（1）知：a=-1，此时f(x)＝?

2x+1

2x?1

，
∴2x＝

y?1

y+1

，∴f?1(x)＝log2

x?1

x+1

（6分）
∴f?1(x+1)＝log2

x

x+2

（x＞0或x＜-2）（7分）
此时

x

x+2

＝2y可得：x＝

2y+1

1?2y

，
∴y＝g(x)＝

2x+1

1?2x

（9分）
∴g（x）的值域为（-∞，-2）∪（0，+∞）（10分）
（3）原不等式化为t?g（x）＞-g²（x）-2g（x）-2
当g（x）＞0时，t＞?[g(x)+

2

g(x)

]?2（11分）
此时?[g(x)+

2

g(x)

]?2≤?2

2

?2即t＞?2

2

?2（12分）
当g（x）＜-2时，t＜?[g(x)+

2

g(x)

]?2（13分）
∵g(x)+

2

g(x)

在g（x）∈（-∞，-2）单调递增，
∴?[g(x)+

2

g(x)

]?2＞3?2＝1即t≤1（15分）
综上所述，实数t的取值范围为(?2

2

?2，1]（16分）