Question

已知数列{an}满足a1=a2=2，a3=3，an+2=a2n+1+ (?1)nan（n≥2）（Ⅰ）求a4，a5；（Ⅱ）是否存在实数λ，使

已知数列{an}满足a1=a2=2，a3=3，an+2=a2n+1+ (?1)nan（n≥2）（Ⅰ）求a4，a5；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设bn=an+2-μan+1（n∈N*），若数列{bn}是等比数列，求实数μ的值．

Answer 1

（I）a₄=

a 2 3 +1

a2

=

9+1

2

=5
a₅=

a 2 4 ?1

a3

=

25?1

3

=8
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列，
则2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），
解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂），
与数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列矛盾
故不存在实数λ，使数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列
（III）根据题意，可得a₁=a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，
则b₁=a₃-μa₂=3-2μ，b₂=a₄-μa₃=5-3μ，b₃=a₅-μa₄=8-5μ，
若数列{b_n}是等比数列，则b₁×b₃=b₂²，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）²，
解可得μ=

1± 5

2

．