Question

定义在R上奇函数f（x）满足：f（2）=0，当x＞0时有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为

定义在R上奇函数f（x）满足：f（2）=0，当x＞0时有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（　　）A．（-∞，-2）B．（0，2）C．（-2，0）∪（2，+∞）D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

∵当x＞0时，有xf′（x）＜f（x）成立，
∴

xf′(x)?f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减．
∵f（2）=0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴答案为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选D．