Question

（Ⅰ）设a，b，c∈（0，+∞），求证：a2b+b2c+c2a≥a+b+c；（Ⅱ）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），1a+4b

（Ⅰ）设a，b，c∈（0，+∞），求证：a2b+b2c+c2a≥a+b+c；（Ⅱ）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），1a+4b≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a，b，c∈（0，+∞），
∴a²+b²≥2ab，
∴

a2

b

+b≥2a，同理

b2

c

+b≥2b，

c2

a

+a≥2c，
相加得

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2a+2b+2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴

1

a

+

4

b

=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，
∴

1

a

+

4

b

的最小值为9．               
∵对?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
∴|2x-1|-|x+1|≤9．
∴当x≤-1时，2-x≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1；
当-1＜x＜

1

2

时，-3x≤9，解得：x≥-3，
∴-1＜x＜

1

2

；
当x≥

1

2

时，x-2≤9，解得：x≤11，
∴

1

2

≤x≤11；
综上所述，x的取值范围为：-7≤x≤11．