Question

设Sn是等比数列{an}的前n项和，（1）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．（2）设p，r

设Sn是等比数列{an}的前n项和，（1）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．（2）设p，r，t，k，m，n∈N*，且p，r，t成等差数列，若pSk，rSm，tSn成等差数列，试判断pak+1，ram+1，tan+1三者关系，并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，设等比数列{a_n}的公比为q，
可得2S₉=S₆+S₃，即2

a1(1?q9)

1?q

=

a1(1?q6)

1?q

+

a1(1?q3)

1?q

整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1或-

1

2

，
∵q=1时，2S₉=S₆+S₃不成立
∴q³=-

1

2

，
可得a₂+a₅-2a₈=a₂（1+q³-2q⁶）=a₂（1-

1

2

-2×

1

4

）=0
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差数列．
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，
由pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，可得2rS_m=pS_k+tS_n，
当q=1时，a_k+1=a_m+1=a_n+1=a₁，结合2r=p+t得到2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．
当q≠1时，由2rS_m=pS_k+tS_n结合等比数列前n项和公式，
化简得2ra₁（1-q^m）=pa₁（1-q^k）+ta₁（1-qⁿ），
∵2r=p+t，可得2ra₁=pa₁+ta₁，
∴上式化简，得2ra₁q^m=pa₁q^k+ta₁qⁿ，即2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．
综上所述，若pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，则pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差数列．