Question

已知:如图13,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,DE⊥BC于E,连接BD,设AD=m,

已知:如图13,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,DE⊥BC于E,连接BD,设AD=m,DC=n，BE=p，DE=q，
（1）若tanC=2，BE=3，CE=2，求点B到CD的距离；
（2）若m=n，BD=3根号2，求四边形ABCD的面积.

Answer 1

解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
∵∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°，
∴四边形DEBH为矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDH=∠ADE，
又∵∠DHC=∠AED=90°，
∴△DCH∽△DAE，
∴
CH
AE
=
DC
AD
=
1
2
，
∴CH=
1
2
AE，
∵DE=BH而BH=BC+CH=BC+
1
2
AE，
∴
AE
2
+BC=DE．

（2）如图2，过点F作FM⊥DE交DE于M，
∴∠FMG=90°，
又∵∠AED=90°，
∴∠FMG=∠AED，而∠FGM=∠AGE，
∴
FM
AE
=
FG
AG
=
2
3
，
∵AE=6，
∴FM=4，
由（1）知，△DCH∽△DAE，
∴
DH
DE
=
DC
AD
=
1
2
，而由四边形DEBH为矩形得BE=DH，
∴
BE
DE
=
1
2
，
∴tan∠BDE=
1
2
，
在Rt△DFM′中，∠FMD=90°，tan∠FMD=
1
2
，FM=4，
∴DM=8，FD=4
5
，
设AG=3a（a＞0），
∵AG：FG=3：2，
∴FG=2a，
∵∠DFG=∠AFD，∠BDE=∠DAC，
∴△DFG∽△AFD，
∴
DF
AF
=
FG
FD
，
∴FD2=FA?FG，
∴（4
5
）2=（3a+2a）?2a，
∴a=2