Question

线性代数的第三题，答案没看懂，求解释

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Answer 1

因为R(A)=1，则方程Ax=0基础解系包含n-1个自由解向量，所以λ=0是A的n-1重特征值
又Aα=（αβT）α=α(βTα)=(βTα)α,由于α≠0,所以βTα是A的一个特征值
所以│λE-αβT│=λ^(n-1)(λ-βTα)
又，tr(AB)=tr(BA),若A和B为m*n和n*m阶矩阵。所以有tr(A)=tr(αβT)=tr(βTα)=βTα=2

追问

为什么有n-1个自由解向量λ=0就是n－1重特征值？

追答

特征向量是方程（λE-A)x=0的线性无关的解，但方程的基础解系包含n-r(λE-A）个解向量，故特征值λ恰好对应了n-r(λE-A）个特征向量