求证：当x>0,e^x-1>½x²+ln(x+1)
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e^x-1>½x²+ln(x+1)
f(x)=e^x-1-1/2*x^2-ln(x+1)
f'(x)=e^x-x-1/(x+1)
x>0,
e^x>1+x
x+1/(x+1)<1+x
则 此时 f'(x)>0, 增函数
又 lim(x-->0+)f(x)=x>0
故有
当x>0,e^x-1>½x²+ln(x+1)
f(x)=e^x-1-1/2*x^2-ln(x+1)
f'(x)=e^x-x-1/(x+1)
x>0,
e^x>1+x
x+1/(x+1)<1+x
则 此时 f'(x)>0, 增函数
又 lim(x-->0+)f(x)=x>0
故有
当x>0,e^x-1>½x²+ln(x+1)
追问
lim(x-->0+)f(x)=x这个怎么出来的。。我极限不好。。
追答
证明：
x>0+
e^x>1+ln(x+1)
e^x-1>ln（1+x）
lim(x-->0+) (e^x-1)/ln（1+x）
=lim(x-->0+) e^x*（1+x）
=lim(x-->0+)（1+x）^2
~1+2x
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