Question

12个球,其中一个重量和其他11个不同，但不知比其他的轻还是重,要求仅仅用一天平,称三次把那个球挑出来

12个球,其中一个重量和其他11个不同，但是即不知道比其他11个轻,还是比其他11个中，要求仅仅用一个天平,仅仅称三次就把那个球挑出来,应该怎么办?我想了很久都不会,请大家告诉我吧,谢谢了

Answer 1

其实3次最多可以称13个球
先把球编号1-12，
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
左边放1-4，右边放5，9-11号，
1.如果平衡则坏球为12号。
2.如果不平衡则坏球一定在9-11号，而且通过这一次的测量我们已经判断出了坏球的轻重，然后一次就可以称出了，这里以9-11号有一个重球为例，称9和10，如果平衡则坏球为11，如果不平衡则坏球为重的一个

以上技巧用的是替换，即如果天平平衡则出现了8个标准球，我们就可以以此来判断最讨厌的轻重问题，使问题归结到“知道轻重”的情况下，在此文后我会附上“知道轻重”称球问题的通解^-^

当然最难的还是不平衡，我们假定1-4重，5-8轻，反正如果轻重条件相反，我们的称法也是一样的，即代换法则：

2.显然我们已经知道1-4中有一个重球或者5-8里有一个轻球，而9-12是标准球
我们的称法是，左边1235，右边4,10,11,12
1.如果左边重，那么一定是123中有一个重球（因为4不可能是轻球），然后再用一次称出
2.如果右边重，那么一定是4号为重球
3.如果平衡，那么一定是678中有一个轻球，一次称出

其余同理

附：
1.证明"知道假球是轻是重的情况下,当"3^k<a<3^(k+1),a,k∈Z+,那么至少要称k+1次"
命题Ⅰ“当a=3^k,a,k∈Z+时，至少要称k次”，用数学归纳法
(1).当k=0时，a=3^0=1,至少要称0次
(2)假定当k=n-1时，至少要称n-1次
(3)当k=n时，我们把球分成3组，每组3^(n-1)个，先随便取两组称一下，如果等重，则假币一定在剩余一组的3^(n-1)个中；如果有一组较轻，则一定在轻的一组的3^(n-1);无论何种情况，通过一次称量，都把假币的范围缩小到3^(n-1)个中，由(2)得，当k=n-1时，至少要称n-1次，随意所以当k=n时,至少要称n-1+1=n次,故命题成立

我们来研究一般性的问题，即命题Ⅱ当"3^k<a<3^(k+1),a,k∈Z+,那么至少要称k+1次"
首先我把a表示成a=b*3^k+c，b表示a/3^k的商，c表示余数，显然b=1或2,0<c<3^k,a,b,c,k∈Z+,我们把问题转化命题Ⅰ的形式。
(1)若b=1,则a=3^k+c,先取出2c个硬币，分成两组x,y，每组c个，称一次，如果等重，不妨将x组放回，则除y组中的c个外，还剩3^k个硬币，假币定在其中，根据命题Ⅰ，至少还要称k次;如果有一组较轻，不妨设x组较轻，那么从y组中取出(3^k-c)个，放到x组中，x组中有3^k个硬币，假币定在其中，根据命题Ⅰ，至少还要称k次,无论那种情况，至少要称k+1次。
(2)若b=2,则a=2*3^k+c,先取出2*3^k个硬币，分成两组x,y，每组3^k个，如果等重，不妨从y组中取出(3^k-c)个，放到剩余的c个中，则剩余3^k个硬币，假币定在其中，根据命题Ⅰ，至少还要称k次；如果有一组较轻，不妨设x组较轻，x组有3^k个硬币，假币定在其中，根据命题Ⅰ，至少还要称k次;那么,无论那种情况，至少要称k+1次。
(3)显然无论b=1还是b=2，只要存在余数，a>3^k，a至少要(k+1)次甚至更多次才能确定假币，而(1),(2)证明k+1次是可行的，所以命题Ⅱ成立

综合命题Ⅰ和命题Ⅱ，命题“3^k<a≤3^(k+1),a,k∈Z+那么至少要称k+1次”是成立的。

“不知道假球是轻是重的情况下，a个球至少需要几次才能称出来，那我们是否可以归纳出通过n次测量最多可以从多少个特征相同小球中找出一个重量异常的球呢？(或轻或重都有可能)我得出是(3^n-1)/2个

先做"给一个没有砝码的天平,不借助其他任何工具,通过4次测量最多可以从多少个特征相同小球中找出一个重量异常的球(或轻或重都有可能)请说明理由"
答：40个。
我是根据12个球推理的。当然我要先介绍一下一个命题，我们其实可以归纳出如果有a个小球，3^k<a≤3^(k+1),那么至少要称k+1次（当然这是知道假球是轻是重的情况下），后面我会复制我的证明方法，先说这道题。

12个球，如果4,4不平衡，我们通过换球，在第二次称量中就能得到坏球是轻是重，于是剩余两次，最多可以确定3^2个球中的坏球，显然用(9+1)*3个可以用4次称出来的，就是分三组，和12个球一样，只不过12个球中是(3+1)一组，而现在是(9+1)一组。需要注意的是，现在如果判断是(9+1)中的1是坏球就不用称了，事实上最坏的情况是在第一次称重时，(9+1)=(9+1),而第二次才剩余的(9+1)中取9个，换掉放上去的9个，如果再平衡，那么剩余的1个就不用称了，就是它了，但我们这样不就白白浪费了2次机会。而在不知道轻重，有标准球的情况下，2次最多可以称出几个呢?5个！3-3先称，剩2个称一次，即可。有标准球，其不知坏球轻重的情况下，2次不可能称出6个，最后一组最大一定是(9+5)，现在关键前面两组。我们发现，前两组如果不平衡，那么通过交换可以称出坏球轻重，但最坏的情况是判断出左边和右边各有4个球，能知道左边4球和右边4球谁重，这样，才能在剩下2次中称出来，所以这两组合各有(9+4)个，所以，4次最多可以称出(9+4)*2+(9+5)=40个。

这样讲，你肯定不是很明白，下面我列出称量方案，你就明白了。
当然知道轻重的情况下，9个只用两次，我就不写了，想必你是知道的。
分为1-40号；取三组A(1-13)B(14-26)C(27-40)
先称AB组，

1.如果A=B 那么AB没有问题，C有问题，称A(1-13) (14-17,27-35)
(1)如果平衡，则坏球在36-40，再称两次即可，不多说了。
(2)如果不平衡，那么假定(14-17,27-35)重，那么(27-35)中有重的坏球，需要两次称出
(3)如果(14-17,27-35)轻，与(2)一样

2.如果A重B轻，则(1-13)中有重球，或(14-26)中有轻球，而(27-40)为标准球，再称(1-9,14-17)(10-13,27-35)
(1)如果平衡，那么(18-26)中有坏球，而且一定是重球，两次称出
(2)如果(1-9,14-17)重，那么无论(14-17)有轻球，或(10-13)有重球，都会使(10-13,27-35)重，所以不可能，只能是(1-9)有重球，两次称出
(3)如果(1-9,14-17)轻，那么(1-9)不可能有重球，所以不可能，只能是(14-17)有轻球，或(10-13)有重球，和12个球第一次称出不平衡的局面是一样的，然后再称(14-16,10)和(17,1-3)，显然是可以得到结果的。

3.如果A轻B重，和2一样

其实你会发现，用12个称3次还是利用不足，有浪费，因为如果4=4，在剩下的4个球中浪费了一次机会，如果剩5个球，那么剩下的也只要两次就可以了。2次4个，3次13个，4次40个。

那我们是否可以归纳出通过n次测量最多可以从多少个特征相同小球中找出一个重量异常的球呢？(或轻或重都有可能)我得出是(3^n-1)/2个？
an=3*a(n-1)+1 an+1/2=3(a(n-1)+1/2)=3^(n-1)(a1+1/2)=(3^n-1)/2当然这只是猜想，下面严格证明：

首先我们要定义bn,它表示剩下n次，有标准球的情况下，能称几个，bn=b(n-1)+3^(n-1)，这个式子表示先称一次，判断出坏球在3^(n-1)个中，还是b(n-1)个中，无论哪种，都只要n-1次，总共n次，而b1=2个。

然后定义cn,它表示左边cn个球有轻球或右边cn个球中有重球，cn=c(n-1)+3^(n-1),这个式子表示再交换一次，判断出坏球在3^(n-1)个中，还是c(n-1)个中，无论哪种，都只要n-1次，总共n次，而c1=1个

最后就是我们要求的an,它表示通过n次测量最多可以从多少个特征相同小球中找出一个重量异常的球。an=3*3^(n-2)+b(n-2)+2c(n-2)它表示首先通过2次测量，可以确定坏球在3^(n-2)，b(n-2)，或c(n-2)个中，显然bn=cn+1,cn=c(n-1)+3^(n-1) cn+1/2=3*(c(n-1)+1/2)=3^(n-1)(c1+1/2)=(3^n-1)/2,将cn,bn代入，得到an=(3^n-1)/2

a1是不存在的 a2=4, a3=13 ,a4=40, 如果要求a5,a6只要代入即可。

这道题可花了我不少时间啊，天平只有三种平衡状态，所以在一次最多把球分成三份，而不知轻重，就可能要浪费机会了，3^n,(3^n-1)/2正反映了这种情况。

Answer 2

第一步：12分3份，任两份放在天平上，两种可能：
（一）平衡，0在剩下的4个里
（二）不平，0在天平两边的8个里

第二步：
若是（一）把4分2份，仅拿其中一份即2个放上天平左边，在8个*里任拿2个放天平另一边，两种可能：
（1）若平，剩下2个有一个是0，任取其中一个与一个*称，即可找到0
（2）若不平，左边2个有一个是0，推理同上。

若是（二）比较麻烦，最好找支笔画图更容易理解
先给这8个标序号，左边是1234，右边5678。0有可能是12345678中任一个，还有假设左边重（假设任何一边重都对推出的结果没影响），

把678拿下来，把34和两个*（除了标号的8个，有4个是*）移到右边，把5和一个好球移到左边，这样两边都有四个，

原来：左1234，右5678
现在：左125*，右34**

出现两种可能：

（1）平，12345是*，0在678中，任取其中两个放在天平两边称，
A、平衡则剩下的那个是0；
B、不平则是轻的是0，因为678原来都在天平右边，是轻的；1234都是*，重的。

（2）不平，678是*，0在12345中，也两种可能：
A、继续是左边重，移动过位置的345*，0在12中，易推出0
B、变成是右边重了的话，没有移动过的12是*，0在345中，
将34放天平两边，一目了然。
（A）如果平衡，5就是0，
（B）如果不平，重的那个是0（结合移动前后的变化，易推）

第三步都包含在以上分析中，所以称3次绝对可以找到0

好艰难，我在尽最大努力解析明白，希望大家都能看得懂。
若有更简单更快的方法，希望跟帖，共同讨论！

Answer 3

怎么看你们的答案那么复杂呢，给你们一个简单易懂的答案：

正确答案：将12个球分成4组每组3个。将4组取名A B C D 4组
第一步，取出A B 2组称，这里会出现2种情况
（1）平衡，即A B2组重量一样即异常的球不在A B组而在C或D组。
第二步，这时取出A组和C组进行称量，如重量平衡异常球在D组，如不平衡异常球在C组。（这时即可知道球是轻还是重）。
第三部，取出重量不正常的C或D组任意2球进行称量，如平衡剩下的一球就是异常球，如不平衡即可知道异常球是哪个！
(2)不平衡，即A B2组重量不一样，那么异常球必定在A组或者B组。
第二步，这时取出A组和C组进行称量，如重量平衡异常球在B组，如不平衡异常球在A组。（这时即可知道球是轻还是重）。
第三部，取出重量不正常的A或B组任意2球进行称量，如平衡剩下的一球就是异常球，如不平衡即可知道异常球是哪个！

Answer 4

先把球编号1-12，
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
2.如果平衡则坏球为12号。
第三次将1号放在左边，12号放在右边。
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。
2.如果左重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.这次不可能右重。
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重
3.如果右重，则情况和2相反，同样思路即解