Question

求第一小题的解法

Answer 1

解：①设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则y₁=x₁²/4；y₂=x₂²/4；已知x₁+x₂=4；
那么y₁-y₂=(x₁²-x₂²)/4=(x₁+x₂)(x₁-x₂)/4=x₁-x₂；∴AB的斜率k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=1；
② y'=x/2=1，故x=2，y=2²/4=1，即M点的坐标为(2，1)；
设AB的方程为y=x+b，代入抛物线方程得：x²-4(x+b)=x²-4x-4b=0
故x₁+x₂=4......①，x₁x₂=-4b.......②；y₁+y₂=x₁+x₂+2b=4+2b.........③；
y₁y₂=(x₁+b)(x₂+b)=x₁x₂+b(x₁+x₂)+b²=-4b+4b+b²=b².................④；
向量AM=(2-x₁，1-y₁)；向量BM=(2-x₂，1-y₂)；∵AM⊥BM，
∴(2-x₁)(2-x₂)+(1-y₁)(1-y₂)=4-2(x₁+x₂)+x₁x₂+1-(y₁+y₂)+y₁y₂=0..........⑤
将①②③④代入⑤式得：4-8-4b+1-(4+2b)+b²=b²-6b-7=(b+1)(b-7)=0
∴ b₁=-1；b₂=7；∴AB所在直线的方程为：y=x+7; 或y=x-1(舍去，因为这就是过M的切线
本身，与抛物线只有一个交点，即切点M，与有两个切点的题意不合。)