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高中数学向量相关

高中数学向量相关第五题

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Answer 1

向量部分
1.平面向量知识结构表

2.向量的概念
（1）向量的基本概念
①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量
零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
③表示法：几何法：画有向线段表示，记为 或α。
④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量 , 作基底，则平面内作一向量 =x +y ，记作： =(x, y) 称作向量 的坐标.
=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
（2）向量的运算
①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：
λa=λ(x,y)=(λx, λy)
(1)︱ ︱=︱ ︱??︱ ︱;
(2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；
当 =0时， =0．
(3)若 =（ ），则 ?? =（ ）．
运算律
λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。
3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：
（1）．向量的夹角：已知两个非零向量 与b，作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则
?? =︱ ︱??︱ ︱cos ．
其中︱ ︱cos 称为向量 在 方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质： ?? = ?? ,(λ )?? = ??(λ )=λ（ ?? ），（ + ）?? = ?? + ?? 。若 =（ ）, =（ ）则 ?? =
ⅰ） ⊥ ?? =0 （ ， 为非零向量）;
ⅱ）向量 与 夹角为锐角
ⅲ）向量 与 夹角为钝角
4.定理与公式
① 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a
结论： ∥ ( ?? )的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1??消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵ ?? ∴x2, y2中至少有一个不为0
2??充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
3??向量共线的充要条件有两种形式： ∥ ( ?? )
②平面向量基本定量：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2
③两向量垂直的充要条件
(i) ⊥ ?? =0 (ii) ⊥ x1??x2+y1??y2=0（ =(x1,y1), =(x2,y2)）
④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使 =α +β ，其中α+β=1，O为平面内的任一点。
⑤数值计算公式
两点间的距离公式：| |= ，其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]
P分有向线段 所成的比：
设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；
分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则： 中点坐标公式：
两向量的夹角公式：cosθ= =
0≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
⑥图形变换公式 平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，
则
⑦有关结论
(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则 ( + );
一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即 =λ ，λ≠-1）则 = + ，此即线段定比分点的向量式
(ii)有限个向量，a1,a2,…,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量 =a1, =a2,…, =an,则向量 即这些向量的和，即
a1+a2+…+an= + +…+ = （向量加法的多边形法则）。
当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。
注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。
3.向量的应用
（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用