初中的题求解答 急！！！！ 50
方法一：几何法
如图所示，过点E作EF⊥BC，垂足F在BC上，延长CB至点G，使得BG=BC，连接AG。
因为在△ABC中∠ABC=90°，点E为AC中点，EF⊥BC，
所以EF为△ABC的中位线，有点F为BC中点，AB=2EF，
因为∠ABC=90°，BG=BC，所以AB垂直平分CG，可知△ACG为等腰三角形，
有AC=AG，∠BAC=∠BAG，又因为∠ADB=2∠BAC，所以∠ADB=∠CAG，
再由∠CGA=∠AGD可知△CAG∽△ADG，有CG/AG=AG/DG，
设CD=x，则由BC=2CD可知BF=CF=x，DF=BG=BC=2x，所以4x/AG=AG/5x，
化简得AG=(√20)x，在直角△ABG中由勾股定理可算得AB=4x，
所以DF=EF=2x，因为在直角△DEF中DE=4，由勾股定理易解得x=√2，
所以AC=AG=(√20)x=(√20)×(√2)=2√10。
方法二：三角函数法
如图所示，过点E作EF⊥BC，垂足F在BC上。
因为在△ABC中∠ABC=90°，点E为AC中点，EF⊥BC，
所以EF为△ABC的中位线，有点F为BC中点，AB=2EF，
又因为BC=2CD，所以设BF=CF=CD=x，EF=y，则AB=2y
因为∠ADB=2∠BAC，所以设∠BAC=α，则∠ADB=2α，
可知在直角△ABC中有tan∠BAC=tanα=BC/AB=2x/2y=x/y，
在直角△ABD中有tan∠ADB=tan2α=AB/BD=2y/3x，
因为tan2α=2tanα/(1-tan²α)（二倍角公式），
所以分别将tanα=x/y，tan2α=2y/3x代入进行计算，化简可得y=2x，
因为在直角△DEF中DF=EF=2x，DE=4，由勾股定理易解得x=√2，
所以AB=2y=4x=4√2，BC=2x=2√2，在直角△ABC中即可算得AC=2√10。
