Question

已知x，y ∈R求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0

Answer 1

证明：
（一）充分性：
若|X+Y|=|X|+|Y|
则|X+Y|^2=(|X|+|Y|)^2
即：X^2+Y^2+2XY=|X|^2+|Y|^2+2|X||Y|
∴XY=|X||Y|
∴XY≥0
∴|X+Y|=|X|+|Y|的
充分条件
是XY≥0
（二）必要性：
若xy≥0
则分为以下几种情况：
（1）当x、y＞0时
│x+y│=x+y=|x│+│y│
（2）当x、y＜0时
│x│=-x
│y│=-y
│x+y│=-（x+y）=-x+（-y）=│x│+│y│
（3）当X与Y中有一个为0时，显然有
│x+y│=x+y=|x│+│y│
∴|X+Y|=|X|+|Y|是XY≥0的必要条件
综上：|X+Y|=|X|+|Y|的充要条件是XY≥0
希望可以采纳

Answer 2

证明：
必要性：
|x+y|=|x|+|y|
两边平方：
x^2+2xy+y^2=x^2+2|xy|+y^2
所以：
|xy|=xy>=0
所以：xy>=0
充分性：
以上过程逆推即可
命题得证

Answer 3

充分性
xy≥0等价与x≥0，y≥0或x≤0，y≤0；
x≥0，y≥0时，│x+y│=│x│+│y│
x≤0，y≤0时，│x+y│=|-│x│-│y│|=|x|+|y|
必要性
若│x+y│=│x│+│y│
则x≥0，y≥0或x≤0，y≤0；所以xy≥0。
其实这没啥好证的，就一个分类讨论。。