4/x(x²+4)=A/x+Bx+C/x²+4 求A B C

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孔桂枝和亥
2020-02-06 · TA获得超过3.7万个赞
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此题应该是把4/x(x²+4)化成部分分式A/x+(Bx+C)/(x²+4)吧
把A/x+(Bx+C)/(x²+4)通分
得原式
=【A(x²+4)+x(Bx+C)】/
x(x²+4)
=(Ax²+4A+Bx²+Cx)
/
x(x²+4)
=【(A+B)x²+Cx+4A】/
x(x²+4)
对比4/x(x²+4)易知
A+B=0
C=0
4A=4
解得
A=1,B=-1,C=0
所以4/x(x²+4)=
(1/x)-x/(x²+4)
【拓展:对于分子、分母都是多项式的方式,当分母的次数高于分子的次数时,我们把这个份是叫做真分式。
有时候,需要把一个真分式化为几个更简单的真分式的代数和,如2x/(x²-4)=1/(x-2)+1/(x+2)
像这种恒等变形称为把分式化为部分分式。
将一个真分式化为部分分式时,一般先将分式的分母分解因式,再根据分母的因式次数假设分解后的部分分式,最后用待定系数法求解。
看一道经典例题:将(x³+16)/(x-2)^4化为部分分式
设x-2=t,则x=2+t,t≠0,于是
x³+16=(2+t)³+16=t³+6t²+12t+24
所以
(x³+16)/(x-2)^4
=(
t³+6t²+12t+24)/t^4
=1/t+6/t²+12/t³+24/t^4
即(x³+16)/(x-2)^4
=1/(x-2)+6/(x-2)²+12/(x-2)³+24/(x-2)^4
【上题中分母是(x+a)^n的形式,解答过程没有直接用待定系数法而是用换元法,当分母次数较高而分子又较简单时,用换元法比待定系数法简单】
【希望对你有帮助】
【数学爱好者竭诚为你解答】
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