Question

高中物理竞赛题——万有引力

Answer 1

万有引力的物理竞赛题，几乎都是同一个套路，你只要知道两个方程就可以了，一个能量守恒，一个开普勒第二定律，即（单位时间扫过面积相等）
由于我两天前刚算过类似的一个题，它的题目就多一个条件v/v=a,a很小，我把那里我做的答案给你
远地点离地心h1,速度v1,近地点h2,速度v2
gmm/(r+h)^2=mv^2/(r+h)
v1*h1=v*(r+h)
[单位时间扫过面积相等]
1/2m*v^2*(1+a^2)-gmm/(r+h)=1/2m*v1^2-gmm/h1
[引力势能+动能]
算得
h1=(r+h)/1-a
gmm/(r+h)^2=mv^2/(r+h)
v2*h2=v*(r+h)
[单位时间扫过面积相等]
1/2m*v^2*(1+a^2)-gmm/(r+h)=1/2m*v2^2-gmm/h2
[引力势能+动能]
其实是同一个方程两个不同的根
h2=(r+h)/1+a
在你这个题里，只要把v/v=a代入即可，要注意的是-gmm/r是引力势能，可以用微分推导，万有引力竞赛题只要用这两个方程，剩下的就是解方程的事了。

Answer 2

示：高中物理竞赛一般不要求用微积分。而实际上这一题只要将其运动看作是椭圆的极限（短轴为零）再结合开普勒第三定律即可解决，不需要高等数学的知识。最多微元求和