Question

计算二重积分∬ln(x^2+y^2)dσ其中平面区域D={(x,y)|1<=x^2+y^2<=4}？

【高数题,求大佬详解,不清楚如下图】答案有，我看不懂，求详解





Answer 1

他这里是省略了好多步骤，首先这个二重积分用了极坐标系来计算，dxdy＝rdrdθ，换元后的结果是

所以第一个目标是求lnr²r在1到2的定积分，先求lnr²r的不定积分再用牛顿莱布尼茨公式计算就行了，可以先凑微分再用分部积分法，

凑微分后要求lnx的原函数用分部积分法做，求出的原函数可以不带常数C，因为计算定积分的时候做减法会消去任意常数，所以这个定积分的结果是

这个结果就是图片中的数字

Answer 2

化成极坐标x=rcosθ，y=rsinθ
x²＋y²∈[1，4]，则r²∈[1，4]
r∈[1，2]
θ∈[0，2π]
∫∫D ln(x²＋y²)dσ
=∫(0，2π) dθ∫(1，2) rlnr²dr
=∫(0，2π) dθ (r²lnr－1/2 r²)|(1，2)
=∫(0，2π) (4ln2－1/2×2²－1·ln1＋1/2 ×1²)dθ
=∫(0，2π) (4ln2－3/2)dθ
=2π×(4ln2－3/2)
=(8ln2－3)π

∫rlnr²dr=1/2 ∫lnr²dr²=1/2 ∫lntdt (t=r²)
=1/2 (tlnt－∫tdlnt)
=1/2 (tlnt－∫dt)
=1/2 tlnt－1/2 t＋C
=1/2 r²ln(r²)－1/2 r²＋C
=r²lnr－1/2 r²＋C