Question

请问：分解因式（a+b+c）的5次方－a的5次方－b的5次方-c的5次方=?

Answer 1

（a+b+c)^5－a^5－b^5-c^5这是五次对称多项式，易发现，
当a=-b时，原多项式为0
，
所以原多项式含有因式a+b,
由于是对称多项式，则必还含有因式b+c,c+a.
即含有因式（a+b)(b+c)(c+a)，
从次数上看，原多项式还应含有一个2次对称多项式，
可设为m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca),
即(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=（a+b)(b+c)(c+a)[m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca)],
其中m,n是待定系数。
令a=1,b=1,c=0
得30＝2（2m+n),
令a=0,b=1,c=2
得210＝6（5m+2n),
解得：m=5,n=5,
所以(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=5（a+b)(b+c)(c+a）[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca]