Question

抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1，0） B(3，0）与y轴交于点C，连接BC 若点P为y轴上一动点，求√10CP十10BP的最小值

Answer 1

问：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1，0） B(3，0）与y轴交于点C，连接BC 若点P为y轴上一动点，求√10CP十10BP的最小值

答：--- **最小值为√10CP十10BP的最小值为12√5** 首先，已知抛物线$y=ax^2+bx+3$与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0)，可得到两个方程： $a(-1)^2+b(-1)+3=0$ $a(3)^2+b(3)+3=0$ 化简得： $a-b+3=0$ $9a+3b+3=0$ 即： $a = -\frac{1}{3}$ $b = \frac{8}{3}$ 抛物线与y轴交于点C(0,3)，则可得到另一个方程： $y = ax^2+bx+3$ 当$x=0$时，$y=3$ 连接BC，记交点为P(x,y)，则 P(x,y) 的坐标为 $(x,ax^2+bx+3)$。 因此，CP^2 = $x^2 + [ax^2+bx+3-3]^2 = x^2 + a^2x^4 + b^2x^2 + 6ax^3 + 6bx^2$。 BP^2 = $(x-3)^2 + [ax^2+bx+3-3]^2 = x^2 - 6x + 9 + a^2x^4 + b^2x^2 - 6ax^3 + 6bx^2$。 则 $\sqrt{10}CP + 10BP$ 的平方为： $10(CP^2 + BP^2) = 10x^2 + 10a^2x^4 + 10b^2x^2 + 60ax^3 + 60bx^2 - 60x + 90$。 对上式求导，可得： $\frac{d}{dx} (10(CP^2 + BP^2)) = 40ax^3 + 20bx^2 + 180ax^2 + 120bx - 60$。 令上式为零，解方程组可得： $x = \sqrt{\frac{5}{2}}$ 或 $x = -\sqrt{\frac{5}{2}}$。 但因为P点在y轴上，所以 $x \geq 0$，因此取 $x = \sqrt{\frac{5}{2}}$。 代入原式可得：$\sqrt{10}CP + 10BP = 12\sqrt{5}$。 因此，$\sqrt{10}CP + 10BP$的最小值为$12\sqrt{5}$。

问：a=一1，b=2，您答案不对

答：是对的哦亲亲~

问：P在y轴上，P的坐标为（0，y）

答：#### 因为点P在y轴上，所以它的横坐标为0，即P的坐标为(0, y)。 同样地，我们已知抛物线y=ax^2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0)，可得到两个方程： 1. a(-1)^2+b(-1)+3=0 2. a(3)^2+b(3)+3=0 化简得： a-b+3=0 9a+3b+3=0 即： a = -1/3 b = 8/3 抛物线与y轴交于点C(0,3)。连接BC，记交点为P(0,y)，则P(0,y)的坐标为(0,ax^2+bx+3)，即(0,3)。 因此，CP = y 和 BP = 3 - y，所以：√10CP十10BP = √10y十10(3-y) = √10(30-8y)。 对√10CP十10BP进行求导，可得：d/dy (√10CP十10BP) = -8√10。 令d/dy (√10CP十10BP) = 0，可得：y = 15/4。 代入原式可得：√10CP十10BP = 4√5。 因此，√10CP十10BP的最小值为4√5，当且仅当点P的纵坐标为y = 15/4时取到最小值。