Question

如何导出椭圆的导数公式？

Answer 1

要导出椭圆的导数公式，我们可以利用参数化表示椭圆的方程式来进行求导。
设椭圆的参数化方程为 x = a cos(t) 和 y = b sin(t)，其中 a 和 b 分别为椭圆长轴和短轴的半长，t 是参数。
我们可以将 y 对 x 进行求导，即 dy/dx，来得到椭圆的导数公式。
首先对参数方程 x = a cos(t) 和 y = b sin(t) 同时对 t 求导，得到：
dx/dt = -a sin(t) 和 dy/dt = b cos(t)
然后通过链式法则，我们有：
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
将上述的 dy/dt 和 dx/dt 的值代入到上式中，得到：
dy/dx = (b cos(t)) / (-a sin(t))
使用三角函数的性质和恒等关系，我们可以进一步简化这个表达式：
dy/dx = -(b/a) (cos(t) / sin(t)) = -(b/a) cot(t)
最后得到椭圆的导数公式为：
dy/dx = -(b/a) cot(t)
这就是椭圆在参数化表示下的导数公式。请注意，这个公式在 t = 0 和 t = π 的倍数时存在问题，因为 tan(t) 和 cot(t) 在这些点上不定义。在实际使用中，我们可以选取其他的区间来求解导数。

Answer 2

要对椭圆方程进行求导，首先需要将椭圆方程表示为标准形式。椭圆方程的标准形式为：

$\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1$

其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

接下来，我们可以对椭圆方程进行求导。

假设我们要对x求导，即求$\frac{{dy}}{{dx}}$。我们可以通过隐式求导的方法来进行求解。

首先，将椭圆方程两边同时对x求导，得到：

$\frac{{2x}}{{a^2}} + \frac{{2y}}{{b^2}} \cdot \frac{{dy}}{{dx}} = 0$

接下来，将上式关于$\frac{{dy}}{{dx}}$进行整理，得到：

$\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{b^2x}}{{a^2y}}$

所以，对椭圆方程求导的结果为$\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{b^2x}}{{a^2y}}$。

这就是对椭圆方程进行求导的具体过程。