Question

设函数f(x)=lnx\(1+x)-lnx+ln(1+x).求f(x)的单调区间和极值。

Answer 1

首先，定义域x>0

求导f'(x)=-xlnx/[x(x+1)^2]

另g(x)=-xlnx

但是g(x)这个函数我们也没有研究过，所以继续求二重导

g'(x)=-lnx-1

根据g'(x)图像不难得出，g(x)在（0，1/e）上递增，在[1/e,正无穷）上递减

所以g(x)的最大值g'(1/e)=1/e>0

所以g(x)也有解

g(x)=-xlnx=0,x=1是解

所以根据g(x)，不难得出f(x)在(0,1)上递增，在[1,正无穷]上递减

所以最大值f(1)=ln2

Answer 2

f'(x)=(1+x-lnx)/[x(1+x)^2]+1/(1+x)-1/x
=(xlnx)/[x(1+x)^2](x>0)
令f'(x)<0得0<x<1
令f'(x)>0得x>1
所以递减区间（0,1）
递增区间（1,+¤）
极大值f(1)=ln2

Answer 3

对f(x)求导啊，令分子等于0，可以解出x的值等于1，所以x=1就是极值点，最值为㏑2，单调区间根据极值点很容易求出来的