Question

1^2+2^2+3^2+......+n^2=?的公式推导

Answer 1

解题过程如下：

扩展资料

数学归纳法性质：

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.

证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

Answer 2

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

补充说明解答超强楼主第二种解法：
想像一个由边长为1、含有内切圆的三角形无限拼凑成的
边长为n的三角形（外切圆也可，在此以内切说明），
平行分为n行，
第一行1个三角形1个圆，圆内数字为1，
第二行2个三角形2个圆，圆内数字都为2，
第三行3个三角形3个圆，圆内数字都为3，
以此类推：
第n行n个三角形n个圆，圆内数字都为n，
那么，
我们要求的平方和，就转化为求这个三角形内切圆内数字的和.设为S
将这个等边三角形以其重心、垂心、内心或者外心（非旁心）旋转；
顺时针120度一次，顺时针120度再一次（或者顺时针120度一次，再逆时针120度一次）
得到第二个、第三个三角形
将这三个三角形对应的圆内的数字相加，
我们神奇地发现所有圈内的数字都变成了2n+1 ！！！！
总共有1+2+……+n=n(n+1)/2 个圆，
于是3T=[n(n+1)/2]·(2n+1)
T=n(n+1)(2n+1)/6
无心冒犯楼主，只是这个方法太好玩了，而我起先却领会错了意思，木有看懂~~