Question

设f(x)是定义在R*上的函数,且满足条件f(x+y)=f(x)+f(y).....

设f(x)是定义在R*上的函数,且满足条件
（1）f(x+y)=f(x)+f(y)
（2）在（0，正无穷）上是增函数
若f(x)+f(y)≤f（4）

那么根据条件（1）可得f（x+y）≤f（4）
结合条件（2）可得 0∠x+y≤4

我想请教下，这里需不需要f（x）+f（y）中的x和y都大于0？也就是
（1）f(x+y)=f(x)+f(y)是否受到“（2）在（0，正无穷）上是增函数”取值的限制？ 我个人意见认为不受限制，想听听大家的意见~~说明理由。谢谢！
其实这个不是书上的原题，只是我为了说明问题，作了改动，
我主要是要问：在“f（x+y）≤f（4）”中（1）f(x+y)=f(x)+f(y)是否受到“（2）在（0，正无穷）上是增函数”取值的限制，而使得x和y都要大于0？

因为0∠x+y≤4是由f（x+y）≤f（4）根据单调性得到的，而只有（2）在（0，正无穷）上是增函数，因为f(x+y)=f(x)+f(y)，那么x和y是否也要大于0？ 参考书上说得不太明确，所以问下了~~

至于x∠0，y∠0，因为这不是原题，经过计算后x∠0，y∠0是否符合题意暂不管，我只想知道

【因为0∠x+y≤4是由f（x+y）≤f（4）根据单调性得到的，而只有（2）在（0，正无穷）上是增函数，又因为f(x+y)=f(x)+f(y)，那么x和y是否也要大于0？重在因果关系 】

Answer 1

由f(x+y)=f(x)+f(y)可以看出很多东西：
f(0+0)=f(0)=f(0)+(0)
所以f(0)=0
所以f(-x+x)=f(0)=f(-x)+f(x)
所以f(x)是奇函数
所以f(x)在(负无穷，0）上也是增函数，f（0）=0

所以f(x)+f(y)=f(x+y)<=f(4) 推出 当x>0,y>0时，x+y<=4满足要求
但是当x<0,y<0等等其他情况下，就不好说了

只考虑从单调性得到0<x+y<=4的话，并不要求x,y都大于0的，可以一个大于0，另一个小于0.这个不受（0，正无穷）上增函数的限制，因为上面已经分析出了，在（负无穷，0）上同样是增函数，要受限制是不是得两个限制都接受呢？也就是没有限制喽

Answer 2

F（x）+F（y）中的自变量都是定义在正实数范围内的 ，这和第二个条件没什么冲突吧！

Answer 3

f(0+0)=f(0)=f(0)+(0)
所以f(0)=0
所以f(-x+x)=f(0)=f(-x)+f(x)
所以f(x)是奇函数
所以f(x)在(负无穷，0）上也是增函数，f（0）=0
所以f(x)+f(y)=f(x+y)<=f(4) 推出 当x>0,y>0时，x+y<=4满足要求
但是当x<0,y<0等等其他情况下，就不好说了 !
对吧？