Question

求一微分线性方程y''+3y'-4y=2e^(-4x)+5的通解。

Answer 1

特征方程r^2 + 3r - 4 = 0
特征根r1 = -4，r2 = 1
通解Y = C1 * e^(-4x) + C2 * e^x
因为右边的a = -4是特征方程单根，但0却不是特征方程的根
所以可设特解y* = Axe^(-4x) + B
带入到微分方程y'' + 3y' - 4y = 2e^(-4x) + 5中，得到
16Axe^(-4x) - 8Ae^(-4x) + 3Ae^(-4x) - 12Axe^(-4x) - 4Axe^(-4x) - 4B = 2e^(-4x) + 5
-5Ae^(-4x) - 4B = 2e^(-4x) + 5
比较系数得到：-5A = 2，-4B = 5，解得A = -2/5，B = -5/4
特解为：y* = -(2/5)xe^(-4x) - 5/4
所以最后通解为y = C1 * e^(-4x) + C2 * e^x - (2/5)xe^(-4x) - 5/4

Answer 2

y''+3y'-4y=2e^{-4x}+5
即y''+3y'-4y-5=2e^{-4x}
令z=y+5/4,带入化简可得:
z''+3z'-4z=2e^{-4x}
令z=ue^{-4x},带入化简可得:
u''-5u'-2=0
令v=u'+2/5,代入化简可得:
v'-5v=0
解得:v=5Ae^{5x}
从而u'=v-2/5=5Ae^{5x}-2/5
解得u=Ae^{5x}-(2/5)x+B
从而z=ue^{-4x}=Ae^{x}-(2/5)x*e^{-4x}+Be^{-4x}
从而y=z-5/4=Ae^{x}+Be^{-4x}-(2/5)x*e^{-4x}-5/4