Question

定义在(0，正无穷)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)x,y∈(0，正无穷)且f(

定义在(0，正无穷)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)x,y∈(0，正无穷)且f(8)=3 则f(√2)=

Answer 1

用定义，假设x1>x2>0
则x1/x2>1
f(x1)=f((x1/x2)*x2)=f(x1/x2)+f(x2)>0+f(x2)
所以f(x1)>f(x2)
所以是增函数
因为是增函数，所以最小值在3，最大值在9
因为3是开的，所以取不到最小值
最大值f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=1+1=2
所以只有最大值f(9)=2
f(x+2)>2+f(x)
f(x+2)>f(9)+f(x)
f(x+2)>f(9x)
f是增函数
所以只需x+2>9x成立即可
即8x<2
x<1/4
但是函数定义在x>0上
所以
x+2>0
x>0
综上可得
0<x<1/4

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