Question

第14题数学题怎么做啊？谢谢！

Answer 1

(1) 当a=1, b=4时，t=x+4/x，而f(x)=m^2+n^2 + 2mn - 2mn=(m+n)^2 - 2mn (为了容易让你看懂，用m和n简化一下式子），所以f(x) =(x - 1 + 4/x - 1)^2 -2(x-1)(4/x-1)=(t - 2)^2 - 2(5-t)=t^2 - 2t - 6
求f(t)的一阶导数为2t-2，可得f(t)的极值点为t=1, 从而函数f(t)在(1, ∞)上是单调递增；由于x>0,所以t=x+4/x >=2根号(x*4/x)=4，所以t的最小值为4，所以f(t)的最小值为2
(2) f(x)=(t-2)^2-2(x/a-1)(b/x-1)=t^2 - 2t +2 - 2b/a，f(t)为抛物线，极值点为t=1点，而1≤t<∞为单调递增。不过由于t = x/a + b/x >= 2根号(x/a * b/x) = 2根号(b/a) = 2(k+1)/k > 2, 而函数在2≤t<∞也是单调递增的。
根根据t=x/a+b/x可知当x=根号(ab)=k(k+1)时，t取极值2(k+1)/k, 由于x=a或b时，t=1+b/a>=2根号(b/a)=2(k+1)/k，所以t=2(k+1)/k是极小值，所以t的取值范围是[2(k+1)/k, 1+(k+1)^2/k^2]，注意到t的值都大于2，所以f(t)在此范围递增。所以，t=2(k+1)/k时，f(x)=f(t)=1，求解可得k=2根号2；
而t=1+ (k+1)^2/k^2时，f(x)=f(t)=9，代入求解可得k=1。
所以 1≤k≤2根号2。