Question

设点P是函数y=-√4-(x-1)2图像上的任意一点,点Q(2a,a-3)(a∈R)

我知道函数的图像是半个圆，也知道结果和算法，但为什么点Q的直线一定是y=x/2-3，其他的不行吗？如果用K表示应该是一个直线系吧，问一下怎么确定的Q在此条线上一定最短
那为什么用y=kx+b表示时结果就是y=k（x-2a）+a-3呢，这是哪出问题了。。我就想知道这个

Answer 1

点Q(2a,a-3)(a∈R)
横坐标x=2a,
纵坐标y=a-3
消去a:
x-2y=6
即x-2y-6=0
即点Q的轨迹为直线Lx-2y-6=0
y=-√[4-(x-1)^2] （-2≤y≤0)
y^2=4-(x-1)^2
（x-1)^2+y^2=4 (-2≤y≤0)
表示以A(1,0)为圆心，半径r=2
的圆的下半部分。
直线L在半圆的下方，
|AP|的最小值为到L的距离，
d=|1-6|/√5=√5
∴|PQ|min=d-r=√5-1

追问

那为什么用y=kx+b表示时结果就是y=k（x-2a）+a-3呢，这是哪出问题了

追答

直线方程为
y=k（x-2a）+a-3

点Q(2a,a-3)是动点，不是定点,
无论a为何值，Q都在那条直线上，
a=0时，点为(0,-3),
a=1时，点为(2,-2)
斜率k=(-2+3)/(2-0)=1/2
直线方程为y=1.2x-3

Answer 2

-2=<y<=0, P点相当于是圆(x-1)^2+y^2=4在下半平面的部分。
Q在直线y=x/2-3上。
|PQ|的最小值即在圆心到直线的垂直线上。
圆心到直线的距离=|1/2-3|/√(1+1/4)=√5
所以|PQ|的最小值为√5-2

追问

我说的就是Q的直线怎么确定的。。不应该是很多吗。。顺便提一下这道题我就这不明白，不用全说