Question

对于一个矩阵的特征值既有单根又有重根，那么单根的线性无关特征向量的个数确定，是否也可能是多个？

但之前有看到重根个数k大于等于线性无关特征向量个数t，有如图证明，这里的重根数k是大于等于2么？

Answer 1

对于单根特征值, 其线性无关的特征向量恰含一个向量

这里可能是说法的问题
特征向量是对应齐次线性方程组的非零解
即基础解系的非零线性组合
所以对某个特征值来说特征向量有无穷多
而 基础解系也不是唯一的, 是它所含向量的个数中唯一确定的

追问

那之前那个例子中三阶矩阵A的特征为0,1,1，其中0对应的线性无关的特征向量是恰含一个向量么？能说Ax=0这个方程的解空间的秩是1么？

追答

是
是

追问

那样不就直接推导出A的秩为n-1=2了么？

追答

对哈. 0为单根时是这样

追问

0要是重根的话，只要知道与它对应的线性无关特征向量的个数（也就是特征向量组的秩），是不是也能得出A的秩？

追答

是的 线性无关的特征向量的个数 = n-r(A)

追问

太谢谢您，这个问题困扰了我好久。。。

追答

不客气