Question

已知二次函数f（x）=x2-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．（

已知二次函数f（x）=x2-ax+a（a＞0，x∈R）有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn＝1?4an(n∈N*)，定义所有满足cm?cm+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，△=a²-4a=0?a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
当n=1时，a₁=S₁=1-4+4=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5
∴an＝

1(n＝1) 2n?5(n≥2)

（6分）
（Ⅱ）由题设cn＝

?3(n＝1) 1? 4 2n?5 (n≥2，n∈N*)

由1?

1

2n?5

＝

2n?9

2n?5

＞0可知，
当n≥5时，恒有a_n＞0（8分）
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，c4＝?

1

3

即c₁?c₂＜0，c₂?c₃＜0，c₄?c₅＜0
所以，数列{c_n}共有三个变号数，即变号数为3．（12分）