Question

如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油。假定区域周围岩石均匀分

如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。(1)设球形空腔体积为V，球心深度为d(远小于地球半径)， 求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常； (2)若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

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Answer 1

解：(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 mΔg ① 来计算，式中m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量 M=ρV ② 而r是球形空腔中心O至Q点的距离 r=  ③ Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影 Δg′= Δg ④ 联立①②③④式得Δg′=  ⑤ (2)由⑤式得，重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为 (Δg′) max =  ⑥ (Δg′) min =  ⑦ 由题设有(Δg′) max =kδ，(Δg′) min =δ ⑧ 联立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为