Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C为 x 2 4 +y 2 =1（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M、N，

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C为 x 2 4 +y 2 =1（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1， 1 4 ）为中点，求直线MN的方程；（2）若过点A（1，0）的直线l（非x轴）与椭圆C相交于两个不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使 PE ? QE 恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点（-1， 1 4 ）在椭圆内部，∴直线MN与椭圆必有公共点 设点M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），由已知x 1 ≠x 2 ，则有 x 1 2 4 + y 1 2 =1 ， x 2 2 4 + y 2 2 =1 两式相减，得 ( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 ) 4 =-（y 1 -y 2 ）（y 1 +y 2 ） 而 x 1 + x 2 =-2， y 1 + y 2 = 1 2 ，∴直线MN的斜率为1 ∴直线MN的方程为4x-4y+5=0； （2）假定存在定点E（m，0）， PE ? QE 恒为定值λ 由于直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x 3 ，y 3 ），Q（x 4 ，y 4 ）， 将x=ky+1代入 x 2 4 +y 2 =1得（k 2 +4）y 2 +2ky-3=0． 显然△＞0，∴y 3 +y 4 =- 2k k 2 +4 ，y 3 y 4 =- 3 k 2 +4 ∵ EP =（x 3 -m，y 3 ）， EQ =（x 4 -m，y 4 ），， ∴ PE ? QE =x 3 x 4 -m（x 3 +x 4 ）+m 2 +y 3 y 4 = ( m 2 -4) k 2 +4 m 2 -8m+1 k 2 +4 若存在定点E（m，0），使 ( m 2 -4) k 2 +4 m 2 -8m+1 k 2 +4 =λ为定值（λ与k值无关），则必有 m 2 -4=λ 4 m 2 -8m+1=4λ ∴m= 17 8 ，λ= 33 64 ∴在x轴上存在定点E（ 17 8 ，0），使 PE ? QE 恒为定值 33 64 ．