Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC （II）设AC∩BD=O， 因为∠BAD=60°，PA=AB=2， 所以BO=1，AO=OC= ， 以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣ ，2），A（0，﹣ ，0），B（1，0，0）， C（0， ，0） 所以 ， 设PB与AC所成的角为θ， 则cosθ=| （III）由（II）知 ，设 ， 则 设平面PBC的法向量 =（x，y，z） 则 =0， 所以 令 ， 平面PBC的法向量所以 ， 同理平面PDC的法向量 ， 因为平面PBC⊥平面PDC， 所以 =0，即﹣6+ =0， 解得t= ，所以PA=