在△ABC为正三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，侧棱与底面ABC成30°角，作A1H⊥面ABC于H
在△ABC为正三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，侧棱与底面ABC成30°角，作A1H⊥面ABC于H，连接AH并延长交BC于P，AP=2A1H...
在△ABC为正三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，侧棱与底面ABC成30°角，作A1H⊥面ABC于H，连接AH并延长交BC于P，AP=2A1H．（Ⅰ）证明：B1C1⊥面A1AH；（Ⅱ）求二面角A-BC-A1的正切值；（Ⅲ）若A1H=BC=1，求四棱锥A1-BB1C1C体积．
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（Ⅰ）A1H⊥面ABC于H，BC∈平面ABC，∴A1H⊥BC，AA1∥BB1，
侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，即BC⊥A1A，∴A1A∩A=A，∴BC⊥平面A1AH，
∴证明：B1C1⊥面A1AH；
（Ⅱ）连接AH并延长交BC于P，AP=2A1H，由（Ⅰ）可知∠A1PH就是所求二面角A-BC-A1的平面角，
∵侧棱与底面ABC成30°角，
∴
＝tan30°＝
，HP=AP-AH=2A1H-
A1H，
所求二面角A-BC-A1的正切值：
=
=2+
；
（Ⅲ）由A1H=BC=1，所以四棱锥A1-BB1C1C体积为：
V三棱柱?VA1?ABC=
AB2?A1H?
×
侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，即BC⊥A1A，∴A1A∩A=A，∴BC⊥平面A1AH，
∴证明：B1C1⊥面A1AH；
（Ⅱ）连接AH并延长交BC于P，AP=2A1H，由（Ⅰ）可知∠A1PH就是所求二面角A-BC-A1的平面角，
∵侧棱与底面ABC成30°角，
∴
| A1H |
| AH |
| ||
| 3 |
| 3 |
所求二面角A-BC-A1的正切值：
| A1H |
| HP |
| 1 | ||
2?
|
| 3 |
（Ⅲ）由A1H=BC=1，所以四棱锥A1-BB1C1C体积为：
V三棱柱?VA1?ABC=
| ||
| 4 |
| 1 |
| 3 |
|
