Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=12x，求

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=12x，求使f（x）=-12在[0，2 014]上的所有x的个数．

Answer 1

：（1）证明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=

1

2

x，设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

2

（-x）=-

1

2

x．
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-

1

2

x，即f（x）=

1

2

x，故 f（x）=

1

2

x（-1≤x≤1）．
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），∴f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=

1 2 x，?1≤x≤1 ? 1 2 (x?2)，1＜x＜3

，由f（x）=-

1

2

，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=-

1

2

的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2014，则

1

4

≤n≤

2015

4

，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2014]上共有503个x使f（x）=-

1

2

．