Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点． （1）如图1，若点C的横坐标为4，求

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点． （1）如图1，若点C的横坐标为4，求点B的坐标；（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），求点D的坐标．（3）如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求 S △ BEM ：S △ ABO ．

Answer 1

(1) B（0，-4）;(2) D（-1，0）;(3) S △ BEM ：S △ ABO =1：2.

试题分析：(1)一般情况下,给了一个点的横坐标,都把这个点的横坐标作出来, 作CM⊥y轴于点M，要想求出B点坐标,只需要求出线段OB的长度,直观上看△BCM≌△ABO ,找全等的条件,因为∠ABC=∠AOB=90゜， 所以∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，所以∠CBM=∠BAO，再由题目中的条件,全等的条件已经够了,在△BCM和△ABO中,∠CBM=∠BAO,∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,所以△BCM≌△ABO（AAS），OB=CM=4， B（0，-4）;(2)要想求出D点坐标,只需要求出线段OD的长度,但条件中与OD关联的条件很少,考虑作辅助线,作CM⊥x轴于点M，交AB的延长线于点N，则∠AMC=∠AMN=90°，因为点C的纵坐标为3，所以CM=3， 因为AD平分∠CAB，所以∠CAM=∠NAM，所以△AMC≌△AMN（ASA），所以CM=MN=3，CN=6，因为CM⊥AD，∠CBA=90°，所以∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，因为∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，所以∠NCB=∠BAD，所以△CBN≌△ABD（ASA），所以AD=6，因为A（5，0），D（-1，0）;(3)作EN⊥y轴于点N，因为∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，所以∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°， 所以∠NBE=∠BAO，所以△ABO≌△BEN（AAS），所以△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，因为∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，所以△BFM≌△NEM（AAS），所以BM=NM，因为△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，所以S △ BEN =S △ BEM = S △ BEN = S △ ABO ，即S △ BEM ：S △ ABO =1：2．S △ BEM ：S △ ABO =1：2. 试题解析： （1）如图1，作CM⊥y轴于点M，则CM=4， ∵∠ABC=∠AOB=90゜， ∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠CBM=∠BAO， 在△BCM和△ABO中,∠CBM=∠BAO,∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC, ∴△BCM≌△ABO（AAS）， ∴OB=CM=4， ∴B（0，-4）． （2）如图2，作CM⊥x轴于点M，交AB的延长线于点N， 则∠AMC=∠AMN=90°， ∵点C的纵坐标为3， ∴CM=3， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAM=∠NAM， 在△CAM和△NAM中,∠AMC=∠AMN=90°,AM=AM,∠CAM=∠NAM， ∴△AMC≌△AMN（ASA）， ∴CM=MN=3， ∴CN=6， ∵CM⊥AD，∠CBA=90°， ∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°， ∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°， ∴∠NCB=∠BAD， 在△CBN和△ABD中,∠CBN=∠ABD,CB=AB,∠NCB=∠BAD, ∴△CBN≌△ABD（ASA）， ∴AD=CN=2CM=6， ∵A（5，0）， ∴D（-1，0）． （3）如图3，作EN⊥y轴于点N， ∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°， ∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°， ∴∠NBE=∠BAO， 在△ABO和△BEN中,∠ENB=∠BOA,∠NBE=∠BAO，AB=BE, ∴△ABO≌△BEN（AAS）， ∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF， ∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°， ∴在△BFM和△NEM中, ∠FBM=∠BNE ,∠BMF=∠NME,NE=BF, ∴△BFM≌△NEM（AAS）， ∴BM=NM， ∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等， ∴S △ BEN =S △ BEM = S △ BEN = S △ ABO ， 即S △ BEM ：S △ ABO =1：2．