Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且a 2 ，a 5 ，a 14 恰好是等比数列{b n }的前3项．（Ⅰ）求

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且a 2 ，a 5 ，a 14 恰好是等比数列{b n }的前3项．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n }对于任意自然数n均有 1 c n =( a n +3)?lo g 3 b n ，求数列{c n }的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得：a 5 2 =a 2 ?a 14 ， 即：（1+4d） 2 =（1+d）（1+13d） 整理化简得：3d 2 -6d=0，∵公差d＞0∴d=2 ∴a n =a 1 +（n-1）d=2n-1 由 q= b 2 b 1 = a 5 a 2 = 1+4d 1+d =3 ∴b n =b 1 q n-1 =3 n 故数列{a n }与{b n }的通项公式分别为： a n =2n-1，b n =3 n （Ⅱ）由 1 c n =( a n +3)?lo g 3 b n =（2n+2）n=2n（n+1） ∴ c n = 1 2n(n+1) 由 c n = 1 2 ( 1 n - 1 n+1 ) ；得数列{c n }的前n项和为 s n = 1 2 (1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +… + 1 n - 1 n+1 ) ； = 1 2 (1- 1 n+1 ) = n 2(n+1)