Question

已知，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD交于点P．（1）若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数；

已知，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD交于点P．（1）若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数；（2）是探索∠P与∠A、∠D间的数量关系；（3）若∠A：∠D：∠P=2：4：x，求x的值．

Answer 1

解：（1）∵∠BNC=∠D+∠DCN，∠BNC=∠P+∠PBN（三角形的外角等于两个不相邻的内角的和），
∴∠D+∠DCN=∠P+∠EBN（等量代换），
同理：∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，
∴∠D+∠DCN+∠A+∠ABP=2∠P+∠PBN+∠ACP（等式性质），
∵BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，
∴∠DCN=∠ACP，∠ABP=∠PBN（角平分线的定义），
∴∠D+∠A=2∠P（等式性质），
∵∠A=70°，∠D=60°，
∴∠E=65°；
（2）由（1）可得∠D+∠A=2∠P，即∠P=

1

2

（∠A+∠D）；
（3）由∠A：∠D：∠P=2：4：x，可设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），代入∠D+∠A=2∠P可得：6k=2xk，解得x=3．