（2011?浙江）如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=-
（2011?浙江）如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点．（Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线...
（2011?浙江）如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点．（Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）因为抛物线 C1准线的方程为：y=-
，
所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为：|-
-（-3）|=
．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，x02），抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D，
因为：y=x2，所以：y′=2x；
再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD，
∴过点P（x0，x02）的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0．
过点P（x0，x02）的抛物线 C1的切线方程为：y-x02=2x0（x-x0） ①
当 x0=1时，过点P（1，1）且与圆C2相切的切线PA方程为：y-1=
（x-1）．可得xA=-
，xB=1，xD=-1，xA+xB≠2xD．
当x0=-1时，过点P（-1，1）且与圆C2的相切的切线PB的方程为：y-1=-
（x+1）．可得xA=-1，xB=
，xD=1，xA+xB≠2xD．
所以x02-1≠0．设切线PA，PB的斜率为k1，k2，
则：PA：y-x02=k1（x-x0） ②
PB：y-x02=k2（x-x0）．③
将y=-3分别代入①，②，③得xD＝
（x0≠0）；xA＝x0?
；xB＝x0?
（k1，k2≠0）
从而xA+xB＝2x0?(x02+3)(
+
)．
又
| 1 |
| 4 |
所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为：|-
| 1 |
| 4 |
| 11 |
| 4 |
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，x02），抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D，
因为：y=x2，所以：y′=2x；
再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD，
∴过点P（x0，x02）的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0．
过点P（x0，x02）的抛物线 C1的切线方程为：y-x02=2x0（x-x0） ①
当 x0=1时，过点P（1，1）且与圆C2相切的切线PA方程为：y-1=
| 15 |
| 8 |
| 17 |
| 15 |
当x0=-1时，过点P（-1，1）且与圆C2的相切的切线PB的方程为：y-1=-
| 15 |
| 8 |
| 17 |
| 15 |
所以x02-1≠0．设切线PA，PB的斜率为k1，k2，
则：PA：y-x02=k1（x-x0） ②
PB：y-x02=k2（x-x0）．③
将y=-3分别代入①，②，③得xD＝
| x02?3 |
| 2x0 |
| x02+3 |
| k1 |
| x02+3 |
| k2 |
从而xA+xB＝2x0?(x02+3)(
| 1 |
| k1 |
| 1 |
| k2 |
又
| |?x0k1+x02+3| | |
|
