Question

设函数f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（a）=f（b）=0．（Ⅰ）如果maxa≤x≤bf（x）?mina≤x≤bf（x）＜0

设函数f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（a）=f（b）=0．（Ⅰ）如果maxa≤x≤bf（x）?mina≤x≤bf（x）＜0，证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使f″（ξ）+f（ξ）=2f′（ξ）；（Ⅱ）如果f″（x）+f（x）≠2f′（x）（x∈（a，b）），证明f（x）在（a，b）内没有零点．

Answer 1

（1）设G（x）=e^-xf（x），则G′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））．
因为

max

a≤x≤b

f（x）?

min

a≤x≤b

f（x）＜0，
故

max

a≤x≤b

f（x）＞0，

min

a≤x≤b

f（x）＜0．
因为f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（a）=f（b）=0，
故存在M，m∈（a，b），使得f（M）=

max

a≤x≤b

f（x）＞0，f（m）=

min

a≤x≤b

f（x）＜0．
由连续函数的零点定理，存在c∈（a，b），使得f（c）=0．
在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔中值定理可得，
存在ξ₁∈（a，c），ξ₂∈[c，b]，使得G′（ξ₁）=G′（ξ₂）=0，
即f′（ξ₁）-f（ξ₁）=0，f′（ξ₂）-f（ξ₂）=0．
令H（x）=e^-x（f′（x）-f（x）），则H′（x）=e^-x（f″（x）-2f′（x）+f（x））．
对H（x）在区间[ξ₁，ξ₂]上利用罗尔中值定理可得，?ξ∈（a，b），使得H′（ξ）=0，
即f″（ξ）+f（ξ）=2f′（ξ）．
（2）假设结论不成立，不妨设?c∈（a，b），使得f（c）=0．
由（1）的证明，G（x）=e^-xf（x），H（x）=e^-x（f′（x）-f（x）），
利用两次罗尔中值定理可得，?ξ∈（a，b），使得f″（ξ）+f（ξ）=2f′（ξ），
与f″（ξ）+f（ξ）≠2f′（ξ）矛盾，
故f（x）在（a，b）内没有零点．