Question

已知函数f（x）=cos2x-sin2x+23sinxcosx．（Ⅰ）求f（π12）的值和函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x

已知函数f（x）=cos2x-sin2x+23sinxcosx．（Ⅰ）求f（π12）的值和函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间及最大值，并指出取得最大值时x的取值集合．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）；
则函数的周期T=

2π

2

=π；函数的最小正周期为π，
f（

π

12

）=2sin（2×

π

12

+

π

6

）=2sin

π

3

=2×

3

2

＝

3

；
（Ⅱ）当sin（2x+

π

6

）=1，即2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

6

+kπ，此时函数取得最大值y_max=2；
函数的最大值为2；最大值时x的取值集合为{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}．
③由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即

π

6

+kπ≤x≤