Question

如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2 ,点M在线段PQ上. (1)若OM= ,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且

如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2 ,点M在线段PQ上. (1)若OM= ,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.

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Answer 1

(1) MP=1或MP=3   (2) ∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM= ,OP=2 , 由余弦定理得,OM 2 =OP 2 +MP 2 -2OP·MP·cos45°, 得MP 2 -4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP中,由正弦定理, 得 = , 所以OM= , 同理ON= . 故S △OMN = OM·ON·sin∠MON = × = = = = = = . 因为0°≤α≤60°, 30°≤2α+30°≤150°, 所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1, 此时△OMN的面积取到最小值. 即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4 .