如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥B1C；（Ⅱ）求
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥B1C；（Ⅱ）求三棱锥B1-EFC的体积．...
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥B1C；（Ⅱ）求三棱锥B1-EFC的体积．
展开
展开全部
（Ⅰ）证明一：连接BD1，BC1∵E、F分别为DD1、BD的中点∴EF∥BD1
∵正方体ABCD-A1B1C1D1
∴D1C1⊥平面BCC1B1∴D1C1⊥B1C
∵正方形BCC1B1∴B1C⊥BC1
∵D1C1∩BC1=C1∴B1C⊥平面BC1D1∴B1C⊥BD1
∵EF∥BD1∴EF⊥B1C
证明二：∵
| ED |
| FB |
| 1 | ||
|
| ||
| 2 |
| DF |
| BB1 |
∴∠DEF=∠BFB1∴∠BFB1+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB1=90°
∴EF⊥FB1 又∵CF⊥平面BDD1B∴CF⊥EF
B1F∩CF=F∴EF⊥平面B1FC∴EF⊥B1C
（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD1⊥平面ABCD∴DD1⊥CF
又DD1∩BD=D∴CF⊥平面BDD1B1 又CF=
| 2 |
方法一：△B1EF的面积=2×2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
|
