Question

f(x)在x=0处可导，则f'(x)在x=0处一定连续吗

Answer 1

不一定
经典反例f(x)=x^2sin(1/x)，定义f(0)=0。
f'(0)=0，
当x趋于0时
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)极限不存在。

追问

那么f(x)在x=0处可导和f'(x)在x=0处连续需要的条件有什么不同呢

追答

二者并没有什么关系

追问

两者需要的条件不都是左端导函数等于右端导函数吗？
还有你给的例子x=0的时候不是没有意义吗…为什么可以说f(0)=0…

追答

左端导函数等于右端导函数只能说明导函数在x=0处的极限存在，既不能说明f(x)在x=0处可导，也不能说明f'(x)在x=0处连续。

我给的例子是个分段函数，不等于0时为x^2sin(1/x)，等于0时为0。

追问

书上说f(x)在x0处可导是充分必要条件是左导数和右导数存在且相等…

你的例子懂了，但是还是不理解为什么会有区别，得出来的不是都是x=0上的导函数吗qwq

追答

嗯，不错，这句话是对的，但不是显然的，由左导数和右导数存在且相等推可导需要用到导函数没有可去间断点的结论，你的书上有证明吗？

追问

诶我就看到了这句话，没有提到可去间断点呀…

追答

嗯，大概你的书也就提了一下，反正这个结论虽然是对的，但证明不显然。

追问

那可导要怎么证？是要多证一下连续还是说左导数和右导数只能用定义算？

但是用定义算和用公式的区别在哪qwq

追答

你说我给的例子吗？求导数只能用定义算。不能用公式是因为这是分段函数，在x=0处不是x^2sin(1/x)这个代数式了，因此不能用它来求导。

追问

不是分段函数的话可以用定义吗

这题后两个小题为什么结果是不一样的…

追答

为什么不一样呢……你要始终有把f(x)和f'(x)当成两个毫不相关的函数处理的意识。（当然f'(x)可导一定有f(x)可导，否则f'(x)就不存在了……）

追问

但是我还是感觉求的是同样是f'+(x)，为什么范围会不一样…

Answer 2

是的，可导一定连续，连续不一定可导。

追问

是f'(x)，不是f(x)

Answer 3

对，对－－－－－－－－－可导一定连续。

追问

是f'(x)，不是f(x)

追答

导函数的定义表达式为：
值得注意的是，导数是一个数，是指函数()在点0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。
几何意义
1.代表函数上某一点在该点处切线的斜率。
设0为曲线上的一个定点，为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点0时，并且割线0的极限位置0存在，则称0为曲线在0处的切线。
若曲线为一函数 = ()的图像，那么割线0的斜率为：
当0处的切线0，即0的极限位置存在时，此时，，则0的斜率tanα为：
上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则'(0) = tanα，故导数的几何意义即曲线 = ()在点0(0,(0))处切线的斜率。
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。
例如：f(x)=|x|在x=0处虽连续，但不可导（左导数-1，右导数1）
上式中，后两个式子可以定义为函数在0处的左右导数。
补答：f(x)在x=0处可导，则f'(x)在x=0处不一定连续。

追问

那么f(x)在x=0处可导和f'(x)在x=0处连续需要的条件有什么不同呢

Answer 4

大佬们，是不是这种意思，导函数连续要求，f'(0-)=f'(0+)=f'(0)（f'(0)也就是导函数在这点的定义)，而函数在此点可导，只要求f'(0-)=f'(0+)即可，因此二者并无联系。

Answer 5

可导一定连续

追问

是f'(x)，不是f(x)

追答

不一定