函数连续的充分必要条件 10
由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
设函数f（x）在点X0的某个邻域内有定义，如果有
则称函数在点X0处连续，且称X0为函数的的连续点。
设函数在区间
内有定义，如果f（x）在x=b的左极限存在且等于f（b）即
那么就称函数在点b左连续。
设函数在区间
内有定义，如果f（x）在x=a处右极限存在且等于f（a）即
那么就称函数f（x）在点a右连续。
一个函数在开区间（a，b）内每点连续，则为在（a，b）连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间
连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
扩展资料
连续性与有界性：
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
依次取n=1、2、3、……，得到一个数列{xn}⊂[a,b]。显然，{xn}是有界的，则根据致密性定理，存在一个收敛子列
记
及数列极限的保不等式性可知，a≤x0≤b（即x0∈[a,b]）。
又由归结原则和函数在点x0的连续性可知，
另一方面，由{xn}的选取方法可知，
所以假设不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。
同理可证f(x)在[a,b]上必有下界，从而f(x)在[a,b]上有界。
判断函数f(x)在x0点处连续,当且仅当f(x)满足以下三个充要条件:
1、f(x)在x0及其左右近旁有定义。
2、f(x)在x0的极限存在。
3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。
扩展资料：
函数连续的性质
1、有界性。闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
2、最值性。闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
3、介值性。若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
4、一致连续性。闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
1、函数f(x)在x0点的邻域有定义，
2、函数f(x)在x0点的极限存在；
3、在x0点，函数f(x)的极限值与函数值相等。
1、f(x)在x0及其左右近旁有定义。
2、f(x)在x0的极限存在。
3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。
