Question

x的平方/根号下4-x的平方的不定积分

Answer 1

arcsin(x/2)-(x/2)√(4-x²)+C。

解题过程如下：

设x=2sinθ，则dx=2cosθdθ.

∴∫[x²/√(4-x²)]dx

=∫(4sin²θ/2cosθ)2cosθdθ

=4∫sin²θdθ

=4∫[(1-cos2θ)/2]dθ

=2θ-∫cos2θd2θ

=2θ-sin2θ+C

=arcsin(x/2)-2(x/2)√(1-x²/4)+C

=arcsin(x/2)-(x/2)√(4-x²)+C。

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

Answer 2

设x=2sinθ，则dx=2cosθdθ.
∴∫[x²/√(4-x²)]dx
=∫(4sin²θ/2cosθ)2cosθdθ
=4∫sin²θdθ
=4∫[(1-cos2θ)/2]dθ
=2θ-∫cos2θd2θ
=2θ-sin2θ+C
=arcsin(x/2)-2(x/2)√(1-x²/4)+C
=arcsin(x/2)-(x/2)√(4-x²)+C。

追问

第三步到第四步是怎么换算的

追答

余弦二倍角公式:
cos2θ=1-2sin²θ
→sin²θ=(1-cos2θ)/2。

4∫[(1-cos2θ)/2]dθ
=2∫(1-cos2θ)dθ
=2∫1dθ-2∫cos2θdθ
=2∫1dθ-∫cos2θd(2θ)
=2θ-sin2θ+C
... ...