Question

设实数x，y，Z满足X+y+z=1，则M=xy+2ⅹz+3xz的最大值为

Answer 1

令y=k

z=1-x-y

M=xy+2yz+3xz

=x·kx+2kx(1-x-kx)+3x(1-x-kx)

=-(2k²+4k+3)x²+(2k+3)x

1/(8k²+16k+12)=1/(8k²+16k+8+4)=1/[8(k+1)²+4]

8(k+1)²+4≥4，0<1/[8(k+1)²+4]≤¼，当且仅当k=-1时取等号

此时，(2k+3)/(4k²+8k+6)=[2·(-1)+3]/[4·(-1)²+8·(-1)+6]=½

综上，得：当且仅当x=½，y=-½时，M=xy+2yz+3xz取得最大值

M的最大值为¼

MAX函数

max函数为Matlab中求最大值的函数，格式如下：

M = max(A) %返回数组A中最大的元素

M = max(A,[],dim) %返回数组A中维度dim的最大的元素

[M,I] = max(___)

C = max(A,B)

Answer 2

令y=kx
z=1-x-y
M=xy+2yz+3xz
=x·kx+2kx(1-x-kx)+3x(1-x-kx)
=kx²+2kx-2kx²-2k²x²+3x-3x²-3kx²
=-(2k²+4k+3)x²+(2k+3)x
=-(2k²+4k+3)[x- (2k+3)/(4k²+8k+6)]²+ 1/(8k²+16k+12)
1/(8k²+16k+12)=1/(8k²+16k+8+4)=1/[8(k+1)²+4]
8(k+1)²+4≥4，0<1/[8(k+1)²+4]≤¼，当且仅当k=-1时取等号
此时，(2k+3)/(4k²+8k+6)=[2·(-1)+3]/[4·(-1)²+8·(-1)+6]=½
综上，得：当且仅当x=½，y=-½时，M=xy+2yz+3xz取得最大值
M的最大值为¼

追问

实话说，这是道选择题，选项没有1/4

Answer 3

答案是0.75，过程：只要把y换成1-x-z，原式就可以变为x(1-x-z)+2z(1-x-z)+3xz,拆开来xz被灭掉了，只剩下(1-x)x+2z(1-z)，由完全平方公式知两个式子取最大值时x＝0.5,y＝0.5，最终结果代入，答案就是0.75

Answer 4

高中数学选修า(°﹏°า )

Answer 5

F=xy+2yz+3xz+a(x+y+z)
Fx=y+3z+a=0
Fy=x+2z+a=0
Fz=2y+3x+a=0
x+y+z=1
解出来x=1/2，y=0，z=1/2，a=-3/2
所以M=3/4