Question

高数题，求微分方程的通解及给定条件的特解

Answer 1

求微分方程 y'=ytanx+cosx的通解
解：先求齐次方程y'=ytanx的通解：
分离变量得：dy/y=(tanx)dx；积分之得:
lny=∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx=-lncosx+lnc₁=ln(c₁/cosx);
故齐次方程的通解为：y=c₁/cosx；将c₁换成x的函数u，得y=u/cosx.............①
对①取导数得：y'=(u'cosx+usinx)/cos²x=(u'/cosx)+(utanx)/cosx...............②
将①②代入原式得：(u'/cosx)+(utanx)/cosx=(utanx/cosx)+cosx
化简得u'/cosx=cosx；故u'=cos²x；即du=cos²xdx；
积分之得u=∫cos²xdx=(1/2)∫(1+cos2x)dx=(1/2)[x+(1/2)sin2x]+c=(1/2)x+(1/2)sinxcosx+c
代入①式即得原方程的通解为：
y=[(1/2)x+(1/2)sinxcosx+c]/cosx=(1/2)xsecx+(1/2)sinx+csecx

Answer 2

y′cosx-ysinx=cos²x
ycosx=∫(cos2x+1)/2dx=sin2x/4+x/2+C
y=sinx/2+xsecx/2+Csecx