Question

已知函数f（x）＝ex/x2+2klnx-kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值

已知函数f（x）＝ex/x2+2klnx-kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值则实数k的取值范围是 在线等 要过程 谢谢

Answer 1

f'(x)=e^x(x²-2x)/x⁴+2k/x-k
=e^x(x-2)/x³+k(2/x-1)

①x=2为唯一极小值点
当x∈（0，2）时，e^x＞0，x-2＜0，x³＞0（即e^x(x-2)/x³＜0），2/x-1＞0，要使f′(x)＜0，则k＜0；
当x＞2时，e^x(x-2)/x³＞0，2/x-1＜0，要使f′(x)＞0，则k＜0.
故，当k＜0时，x=2为唯一极小值点。

②x=2为唯一极大值点
当x∈（0，2）时，令f′(x)＞0，则x³f′(x)＞0，即e^x(x-2)+kx²(2-x)＞0，那么k＞-e^x(x-2)/x²(2-x)，即当x∈（0，2）时，恒有k＞e^x/x²，由上可知，e^x/x²的导函数为e^x(x-2)/x³＜0，e^x/x²在（0，2）单调递减，在当x→0时，e^x/x²→+∞，故k不存在。

综上所述，当k＜0时，x=2为唯一极小值点。

求采纳，谢谢～

Answer 2

上面的答案错了，正确答案应该是(-∞，e^(2-2ln2))